2.3. Algunos lemas preliminares

  1. Demostrar que si G es un grupo abeliano, entonces para todo a, b \in G y todos los enteros n, (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n
  2.  
    Procedemos por inducción. Sabemos que (a \cdot b)^1 = (a \cdot b)
    Luego, asumiendo que se cumple (a \cdot b)^k = a^k \cdot b^k:

    \setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl}  \displaystyle(a \cdot b)^{k+1} = &\displaystyle (a \cdot b)^k (a \cdot b)\smallskip\\  \displaystyle &\displaystyle a^k \cdot b^k \cdot a \cdot b  \end{array}

    Como sabemos que G es un grupo abeliano, se debe cumplir que

    a^k \cdot b^k \cdot a \cdot b = a^k \cdot a \cdot b^k \cdot b = a^{k+1} \cdot b^{k+1}

    \Box

  3. Si G es un grupo tal que (a \cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2 para todo a, b \in G, demostrar que G debe ser abeliano
  4.  
    Esta vez, a partir del dato dado hay que llegar a que para todo a,b \in G se cumple que a \cdot b = b \cdot a:

    \setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl}  \displaystyle (a \cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2 \Leftrightarrow &\displaystyle (a \cdot b) (a \cdot b) = (a \cdot a) \cdot (b \cdot b) \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle a \cdot (b \cdot a) \cdot b = a \cdot (a \cdot b) \cdot b \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle a^{-1} \cdot a \cdot (b \cdot a) \cdot b \cdot b^{-1} = a^{-1} \cdot a \cdot (a \cdot b) \cdot b \cdot b^{-1} \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle e \cdot (b \cdot a) \cdot e = e \cdot (a \cdot b) \cdot e \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle b \cdot a = a \cdot b\smallskip\\  \end{array}

    \Box

  5. Si G es un grupo en el que (a \cdot b)^i = a^i \cdot b^i para tres enteros consecutivos i para todo a,b \in G, demostrar que G es abeliano
  6.  
    Los tres enteros consecutivos serán i, i+1 e i+2. Se sabe entonces que:

    \setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl}  \displaystyle (a \cdot b)^i = &\displaystyle a^i \cdot b^i \smallskip\\  (a \cdot b)^{i+1} = &\displaystyle a^{i+1} \cdot b^{i+1} \smallskip\\  (a \cdot b)^{i+2} = &\displaystyle a^{i+2} \cdot b^{i+2} \smallskip\\  \end{array}

    Aplicando esto, se tiene:

    \setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl}  \displaystyle (a \cdot b)^{i+1} = a^{i+1} \cdot b^{i+1} \Leftrightarrow &\displaystyle (a \cdot b)^{i} \cdot (a \cdot b) = a^{i} \cdot a \cdot b^{i} \cdot b \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle a^i \cdot b^i \cdot a \cdot b = a^i \cdot a \cdot b^i \cdot b \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle b^i \cdot a = a \cdot b^i \smallskip\\  \end{array}

    Este primer resultado será necesario para un paso en la siguiente derivación:

    \setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl}  \displaystyle (a \cdot b)^{i+2} = a^{i+2} \cdot b^{i+2} \Leftrightarrow &\displaystyle (a \cdot b)^{i} \cdot (a \cdot b)^2 = a^{i} \cdot a^2 \cdot b^{i} \cdot b^2 \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle a^i \cdot b^i \cdot (a \cdot b)^2 = a^i \cdot a^2 \cdot b^i \cdot b^2 \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle b^i \cdot (a \cdot b)^2 = a \cdot a \cdot b^i \cdot b^2 \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle b^i \cdot (a \cdot b)^2 = b^i \cdot a \cdot a \cdot b^2 \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle (a \cdot b)^2 = a \cdot a \cdot b^2 \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle (a \cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2 \smallskip\\  \end{array}

    Por el resultado en la pregunta anterior, sabemos que esto significa que el grupo es abeliano.

    \Box

  7. Si todo elemento en el grupo G es su propio inverso, demostrar que G es abeliano
  8.  
    Se da que \forall x \in G, x^2 = e. Luego, tomamos dos elementos del grupo y nos basamos en este principio para la demostración:

    \setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl}  \displaystyle a \cdot b = &\displaystyle e \cdot (a \cdot b) \cdot e \smallskip\\  \displaystyle = &\displaystyle b^2 \cdot (a \cdot b) \cdot a^2 \smallskip\\  \displaystyle = &\displaystyle (b \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot (a \cdot a) \smallskip\\  \displaystyle = &\displaystyle b \cdot (b \cdot a) \cdot (b \cdot a) \cdot a \smallskip\\  \displaystyle = &\displaystyle b \cdot (b \cdot a)^2 \cdot a \smallskip\\  \displaystyle = &\displaystyle b \cdot a \smallskip\\  \end{array}

    \Box

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