- Demostrar que todo subgrupo de un grupo abeliano es normal
- Si es un subgrupo de , y . Demostrar que
- a) es un subgrupo de
Basta demostrar que los elementos de están cerrados bajo la operación, y tienen un elemento inverso. Notemos el siguiente resultado:Es decir, el elemento de y su inversa tienen posiciones intercambiables en este caso. Sin embargo, como , sigue inmediatamente que este resultado también implica que el inverso está en , lo que completa la primera parte. Con esto en cuenta, procedemos a tomar elementos para comprobar si su producto se encuentra en . Sabiendo que y , entonces por transitividad de la relación igualdad.
Como se concluye que .
Sea un grupo abeliano, y un subgrupo de (). De ahora en adelante denotemos como a aquellos elementos de en general, y a los de en específico. Igualmente, si se escribe , se entenderá como el producto .
Para que sea un subgrupo normal, se debe cumplir que , lo cual se puede comprobar directamente pues como es abeliano y , los elementos de conmutan con los de . Así, .