2.6. Subgrupos normales y grupos cociente

  1. Demostrar que todo subgrupo de un grupo abeliano es normal
  2.  
    Sea G un grupo abeliano, y H un subgrupo de G (G \leq H). De ahora en adelante denotemos como g a aquellos elementos de G en general, y h a los de H en específico. Igualmente, si se escribe gh, se entenderá como el producto g \cdot h.

    Para que H sea un subgrupo normal, se debe cumplir que \forall g \in G, \forall h \in H, ghg^{-1}\in H, lo cual se puede comprobar directamente pues como G es abeliano y H \subseteq G, los elementos de H conmutan con los de G. Así, ghg^{-1} = gg^{-1}h = eh = h \in H.

    \Box

  3. Si H es un subgrupo de G, y N(H) = \{ g \in G{} |{} gHg^{-1} = H \}. Demostrar que
      a) N(H) es un subgrupo de G

     
    Basta demostrar que los elementos de N(H) están cerrados bajo la operación, y tienen un elemento inverso. Notemos el siguiente resultado:

    \setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl}  \displaystyle g H g^{-1} = H \Leftrightarrow &\displaystyle gHg^{-1}g=Hg \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle gH=Hg \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle g^{-1}gH=g^{-1}Hg \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle H=g^{-1}Hg \smallskip\\  \end{array}

    Es decir, el elemento de G y su inversa tienen posiciones intercambiables en este caso. Sin embargo, como g = (g^{-1})^{-1}, sigue inmediatamente que este resultado también implica que el inverso está en E(H), lo que completa la primera parte. Con esto en cuenta, procedemos a tomar elementos g_1, g_2 \in G para comprobar si su producto se encuentra en N(H). Sabiendo que g_1Hg_1^{-1}=H y g_2Hg_2^{-1}=H, entonces g_2Hg_2^{-1}=g_1Hg_1^{-1} por transitividad de la relación igualdad.

    \setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl}  \displaystyle g_1Hg_1^{-1}=g_2Hg_2^{-1} \Leftrightarrow &\displaystyle g_1^{-1}Hg_1=g_2Hg_2^{-1} \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle H=g_1g_2Hg_2^{-1}g_1^{-1} \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle H=g_1g_2H(g_1g_2)^{-1} \smallskip\\  \end{array}

    Como (g_1g_2)H(g_1g_2)^{-1}=H se concluye que g_1g_2 \in N(H).

    \Box

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2.6. Subgrupos normales y grupos cociente

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