Propiedades de homomorfismos

Sea f: G \rightarrow F un homomorfismo del grupo G en el grupo F, entonces:

  1. f(e) = e
  2. Por el absurdo, suponemos que f(e) = a, a \neq e
    Entonces, por ser un homomorfismo, se cumple:

    \setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl}  \displaystyle f(e \cdot_G e) = f(e) \cdot_F f(e) \smallskip\\  \displaystyle f(e) = a \cdot_F a \smallskip\\  \displaystyle f(e) = a^2 \smallskip\\  \end{array}

    Entonces f(e) = a y f(e) = a^2, lo cual es imposible excepto en el caso que a sea la identidad.

    \Box

  3. \forall x \in G: f(x^{-1}) = f(x)^{-1}
  4. De forma semejante al problema anterior:

    \setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl}  \displaystyle f(x \cdot_G x^{-1}) = f(x) \cdot_F f(x^{-1}) \smallskip\\  \displaystyle f(e) = f(x) \cdot_F f(x^{-1}) \smallskip\\  \displaystyle e = f(x) \cdot_F f(x^{-1}) \smallskip\\  \end{array}

    Como el inverso es único, f(x^{-1}) = f(x)^{-1}.

    \Box

  5. ker(f) \triangleleft G
  6. El núcleo es el conjunto ker(f) = \{ a \in G: f(a) = e_F \}.

    Primero se debe demostrar de que, efectivamente, es un subgrupo. Para ello, primero verifiquemos que está cerrado bajo la operación:. Tomando elementos a, b del núcleo, sabemos que f(a) = f(b) = e:

    \setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl}  \displaystyle f(a \cdot b) = &\displaystyle f(a) \cdot f(b) \smallskip\\  \displaystyle = &\displaystyle e \cdot e \smallskip\\  \displaystyle = &\displaystyle e \smallskip\\  \end{array}

    Entonces, a \cdot b se encuentra en el núcleo. De forma similar para el elemento inverso; como sabemos que G es grupo, entonces a^{-1} debe estar en G también. Entonces:

    \setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl}  \displaystyle f(a \cdot a^{-1}) = &\displaystyle f(a) \cdot f(a^{-1}) \smallskip\\  \displaystyle = &\displaystyle f(a) \cdot f(a)^{-1} \smallskip\\  \displaystyle = &\displaystyle e \smallskip\\  \end{array}

    Queda entonces comprobado que el producto de un elemento del núcleo por su inverso también está en el núcleo.

    Para que sea un subgrupo normal, lo que se pide demostrar es que \forall g \in G, \forall a \in ker(f): gag^{-1} \in ker(f).

    Tomemos entonces elementos arbitrarios de cada conjunto:

    \setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl}  \displaystyle f(gag^{-1}) = &\displaystyle f((ga)g^{-1}) \smallskip\\  \displaystyle = &\displaystyle f(ga) \cdot f(g^{-1}) \smallskip\\  \displaystyle = &\displaystyle f(g) \cdot f(a) \cdot f(g^{-1}) \smallskip\\  \displaystyle = &\displaystyle f(g) \cdot e \cdot f(g^{-1}) \smallskip\\  \displaystyle = &\displaystyle f(g) \cdot f(g^{-1}) \smallskip\\  \displaystyle = &\displaystyle f(g) \cdot f(g)^{-1} \smallskip\\  \displaystyle = &\displaystyle e \smallskip\\  \end{array}

    Esta igualdad al elemento identidad demuestra que está dentro del núcleo.

    \Box

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