El primer teorema de isomorfía es un caso especial del teorema fundamental de homomorfismos.
Teorema: Si son grupos, y
es un homomorfismo, con
entonces
.
Demostración: Para visualizar lo que se va a demostrar, resulta útil el diagrama conmutativo:
De aquí,
es el homomorfismo dado,
es el llamado homomorfismo canónico (
); y
es el isomorfismo cuya existencia se quiere demostrar.
Postulamos que está definido así: Si
, entonces
. Es decir,
.
Buena definición:
Antes de proceder con lo que queremos demostrar, hay que ver si esta función está bien definida, es decir, que no dependa de representantes. Esto es importante, pues si hay una clase lateral en particular, esta es equivalente a un
si
. Entonces, podemos hablar de
,
, y nuestra labor será demostrar que al evaluarla la función, obtengamos el mismo resultado.
En el primer caso, obtenemos , y en el segundo,
. Tomamos un elemento de
y decimos que
, por lo ya explicado anteriormente.
Luego, se cumple que , que es lo que queríamos probar (mismo resultado).
Suryectividad:
Sabemos que es suryectiva pues hemos definido su conjunto de llegada como su imagen. Con esto en mano, probemos que
es suryectiva. Efectivamente, si
,
, para algún
, por la suryectividad de
.
Entonces , por la definición de la
.
Homomorfía:
Para ,
(porque el núcleo es normal). Entonces,
, pues
es homomorfismo.
Sin embargo, como y
, entonces remplazando en la parte anterior,
, propiedad que hace que sea un homomorfismo.
Inyectividad:
Demostremos que es la identidad de
, pues esto hará automáticamente que el homomorfismo sea un isomorfismo.
El elemento identidad en es
, pues
(fácil de comprobar). Probaremos que
. Vemos que:
, entonces
. Esto significa que
.
Como ya sabemos, el hecho de que sea un subgrupo y
implica que
.
Esto completa la demostración del teorema.