Primer teorema de isomorfía

El primer teorema de isomorfía es un caso especial del teorema fundamental de homomorfismos.

Teorema: Si G, F son grupos, y f: G \rightarrow F es un homomorfismo, con ker(f) = K entonces G/K \cong Im(f).

Demostración: Para visualizar lo que se va a demostrar, resulta útil el diagrama conmutativo:

Diagrama conmutativo del Primer Teorema de IsomorfíaDe aquí, f: G \rightarrow Im(f) es el homomorfismo dado, \pi: G \rightarrow G/K es el llamado homomorfismo canónico (\pi(g) = Kg); y g: G/K \rightarrow Im(f) es el isomorfismo cuya existencia se quiere demostrar.

Postulamos que g está definido así: Si X \in G/K, X = Ka, entonces g(X) = f(a). Es decir, g(Ka)=f(a).

Buena definición:

Antes de proceder con lo que queremos demostrar, hay que ver si esta función está bien definida, es decir, que no dependa de representantes. Esto es importante, pues si hay una clase lateral Ka en particular, esta es equivalente a un Kka si k \in K. Entonces, podemos hablar de Ka = Ka^{\prime} = X, a, a^{\prime} \in G, y nuestra labor será demostrar que al evaluarla la función, obtengamos el mismo resultado.

En el primer caso, obtenemos g(X)=f(a), y en el segundo, g(X)=f(a^{\prime}). Tomamos un elemento de K y decimos que a = ka^{\prime}, por lo ya explicado anteriormente.

Luego, se cumple que f(a) = f(ka^{\prime}) = f(k) f(a^{\prime}) = e f(a^{\prime}) =f(a^{\prime}), que es lo que queríamos probar (mismo resultado).

Suryectividad:

Sabemos que f es suryectiva pues hemos definido su conjunto de llegada como su imagen. Con esto en mano, probemos que g es suryectiva. Efectivamente, si b \in Im(f), b = f(a), para algún a \in G, por la suryectividad de f.

Entonces b = f(a) = g(Ka), por la definición de la g.

Homomorfía:

Para a,b \in G, KaKb = Kab (porque el núcleo es normal). Entonces, g(KaKb) = g(Kab) = f(ab) = f(a) f(b), pues f es homomorfismo.

Sin embargo, como g(Ka) = f(a) y g(Kb) = f(b), entonces remplazando en la parte anterior, g(KaKb) = g(Ka) g(Kb), propiedad que hace que sea un homomorfismo.

Inyectividad:

Demostremos que ker(g) es la identidad de G/K, pues esto hará automáticamente que el homomorfismo sea un isomorfismo.

El elemento identidad en G/K es K = Ke, pues KK = K (fácil de comprobar). Probaremos que g(Ka) = e \Rightarrow Ka = Ke = K. Vemos que: e = g(Ka) = f(a), entonces f(a) = e. Esto significa que a \in ker(f) = K.

Como ya sabemos, el hecho de que K sea un subgrupo y a \in K implica que Ka = K.

Esto completa la demostración del teorema.

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Primer teorema de isomorfía

Propiedades de homomorfismos

Sea f: G \rightarrow F un homomorfismo del grupo G en el grupo F, entonces:

  1. f(e) = e
  2. Por el absurdo, suponemos que f(e) = a, a \neq e
    Entonces, por ser un homomorfismo, se cumple:

    \setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl}  \displaystyle f(e \cdot_G e) = f(e) \cdot_F f(e) \smallskip\\  \displaystyle f(e) = a \cdot_F a \smallskip\\  \displaystyle f(e) = a^2 \smallskip\\  \end{array}

    Entonces f(e) = a y f(e) = a^2, lo cual es imposible excepto en el caso que a sea la identidad.

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  3. \forall x \in G: f(x^{-1}) = f(x)^{-1}
  4. De forma semejante al problema anterior:

    \setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl}  \displaystyle f(x \cdot_G x^{-1}) = f(x) \cdot_F f(x^{-1}) \smallskip\\  \displaystyle f(e) = f(x) \cdot_F f(x^{-1}) \smallskip\\  \displaystyle e = f(x) \cdot_F f(x^{-1}) \smallskip\\  \end{array}

    Como el inverso es único, f(x^{-1}) = f(x)^{-1}.

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  5. ker(f) \triangleleft G
  6. El núcleo es el conjunto ker(f) = \{ a \in G: f(a) = e_F \}.

    Primero se debe demostrar de que, efectivamente, es un subgrupo. Para ello, primero verifiquemos que está cerrado bajo la operación:. Tomando elementos a, b del núcleo, sabemos que f(a) = f(b) = e:

    \setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl}  \displaystyle f(a \cdot b) = &\displaystyle f(a) \cdot f(b) \smallskip\\  \displaystyle = &\displaystyle e \cdot e \smallskip\\  \displaystyle = &\displaystyle e \smallskip\\  \end{array}

    Entonces, a \cdot b se encuentra en el núcleo. De forma similar para el elemento inverso; como sabemos que G es grupo, entonces a^{-1} debe estar en G también. Entonces:

    \setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl}  \displaystyle f(a \cdot a^{-1}) = &\displaystyle f(a) \cdot f(a^{-1}) \smallskip\\  \displaystyle = &\displaystyle f(a) \cdot f(a)^{-1} \smallskip\\  \displaystyle = &\displaystyle e \smallskip\\  \end{array}

    Queda entonces comprobado que el producto de un elemento del núcleo por su inverso también está en el núcleo.

    Para que sea un subgrupo normal, lo que se pide demostrar es que \forall g \in G, \forall a \in ker(f): gag^{-1} \in ker(f).

    Tomemos entonces elementos arbitrarios de cada conjunto:

    \setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl}  \displaystyle f(gag^{-1}) = &\displaystyle f((ga)g^{-1}) \smallskip\\  \displaystyle = &\displaystyle f(ga) \cdot f(g^{-1}) \smallskip\\  \displaystyle = &\displaystyle f(g) \cdot f(a) \cdot f(g^{-1}) \smallskip\\  \displaystyle = &\displaystyle f(g) \cdot e \cdot f(g^{-1}) \smallskip\\  \displaystyle = &\displaystyle f(g) \cdot f(g^{-1}) \smallskip\\  \displaystyle = &\displaystyle f(g) \cdot f(g)^{-1} \smallskip\\  \displaystyle = &\displaystyle e \smallskip\\  \end{array}

    Esta igualdad al elemento identidad demuestra que está dentro del núcleo.

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Propiedades de homomorfismos

2.6. Subgrupos normales y grupos cociente

  1. Demostrar que todo subgrupo de un grupo abeliano es normal
  2.  
    Sea G un grupo abeliano, y H un subgrupo de G (G \leq H). De ahora en adelante denotemos como g a aquellos elementos de G en general, y h a los de H en específico. Igualmente, si se escribe gh, se entenderá como el producto g \cdot h.

    Para que H sea un subgrupo normal, se debe cumplir que \forall g \in G, \forall h \in H, ghg^{-1}\in H, lo cual se puede comprobar directamente pues como G es abeliano y H \subseteq G, los elementos de H conmutan con los de G. Así, ghg^{-1} = gg^{-1}h = eh = h \in H.

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  3. Si H es un subgrupo de G, y N(H) = \{ g \in G{} |{} gHg^{-1} = H \}. Demostrar que
      a) N(H) es un subgrupo de G

     
    Basta demostrar que los elementos de N(H) están cerrados bajo la operación, y tienen un elemento inverso. Notemos el siguiente resultado:

    \setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl}  \displaystyle g H g^{-1} = H \Leftrightarrow &\displaystyle gHg^{-1}g=Hg \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle gH=Hg \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle g^{-1}gH=g^{-1}Hg \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle H=g^{-1}Hg \smallskip\\  \end{array}

    Es decir, el elemento de G y su inversa tienen posiciones intercambiables en este caso. Sin embargo, como g = (g^{-1})^{-1}, sigue inmediatamente que este resultado también implica que el inverso está en E(H), lo que completa la primera parte. Con esto en cuenta, procedemos a tomar elementos g_1, g_2 \in G para comprobar si su producto se encuentra en N(H). Sabiendo que g_1Hg_1^{-1}=H y g_2Hg_2^{-1}=H, entonces g_2Hg_2^{-1}=g_1Hg_1^{-1} por transitividad de la relación igualdad.

    \setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl}  \displaystyle g_1Hg_1^{-1}=g_2Hg_2^{-1} \Leftrightarrow &\displaystyle g_1^{-1}Hg_1=g_2Hg_2^{-1} \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle H=g_1g_2Hg_2^{-1}g_1^{-1} \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle H=g_1g_2H(g_1g_2)^{-1} \smallskip\\  \end{array}

    Como (g_1g_2)H(g_1g_2)^{-1}=H se concluye que g_1g_2 \in N(H).

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2.6. Subgrupos normales y grupos cociente

2.3. Algunos lemas preliminares

  1. Demostrar que si G es un grupo abeliano, entonces para todo a, b \in G y todos los enteros n, (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n
  2.  
    Procedemos por inducción. Sabemos que (a \cdot b)^1 = (a \cdot b)
    Luego, asumiendo que se cumple (a \cdot b)^k = a^k \cdot b^k:

    \setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl}  \displaystyle(a \cdot b)^{k+1} = &\displaystyle (a \cdot b)^k (a \cdot b)\smallskip\\  \displaystyle &\displaystyle a^k \cdot b^k \cdot a \cdot b  \end{array}

    Como sabemos que G es un grupo abeliano, se debe cumplir que

    a^k \cdot b^k \cdot a \cdot b = a^k \cdot a \cdot b^k \cdot b = a^{k+1} \cdot b^{k+1}

    \Box

  3. Si G es un grupo tal que (a \cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2 para todo a, b \in G, demostrar que G debe ser abeliano
  4.  
    Esta vez, a partir del dato dado hay que llegar a que para todo a,b \in G se cumple que a \cdot b = b \cdot a:

    \setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl}  \displaystyle (a \cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2 \Leftrightarrow &\displaystyle (a \cdot b) (a \cdot b) = (a \cdot a) \cdot (b \cdot b) \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle a \cdot (b \cdot a) \cdot b = a \cdot (a \cdot b) \cdot b \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle a^{-1} \cdot a \cdot (b \cdot a) \cdot b \cdot b^{-1} = a^{-1} \cdot a \cdot (a \cdot b) \cdot b \cdot b^{-1} \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle e \cdot (b \cdot a) \cdot e = e \cdot (a \cdot b) \cdot e \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle b \cdot a = a \cdot b\smallskip\\  \end{array}

    \Box

  5. Si G es un grupo en el que (a \cdot b)^i = a^i \cdot b^i para tres enteros consecutivos i para todo a,b \in G, demostrar que G es abeliano
  6.  
    Los tres enteros consecutivos serán i, i+1 e i+2. Se sabe entonces que:

    \setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl}  \displaystyle (a \cdot b)^i = &\displaystyle a^i \cdot b^i \smallskip\\  (a \cdot b)^{i+1} = &\displaystyle a^{i+1} \cdot b^{i+1} \smallskip\\  (a \cdot b)^{i+2} = &\displaystyle a^{i+2} \cdot b^{i+2} \smallskip\\  \end{array}

    Aplicando esto, se tiene:

    \setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl}  \displaystyle (a \cdot b)^{i+1} = a^{i+1} \cdot b^{i+1} \Leftrightarrow &\displaystyle (a \cdot b)^{i} \cdot (a \cdot b) = a^{i} \cdot a \cdot b^{i} \cdot b \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle a^i \cdot b^i \cdot a \cdot b = a^i \cdot a \cdot b^i \cdot b \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle b^i \cdot a = a \cdot b^i \smallskip\\  \end{array}

    Este primer resultado será necesario para un paso en la siguiente derivación:

    \setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl}  \displaystyle (a \cdot b)^{i+2} = a^{i+2} \cdot b^{i+2} \Leftrightarrow &\displaystyle (a \cdot b)^{i} \cdot (a \cdot b)^2 = a^{i} \cdot a^2 \cdot b^{i} \cdot b^2 \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle a^i \cdot b^i \cdot (a \cdot b)^2 = a^i \cdot a^2 \cdot b^i \cdot b^2 \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle b^i \cdot (a \cdot b)^2 = a \cdot a \cdot b^i \cdot b^2 \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle b^i \cdot (a \cdot b)^2 = b^i \cdot a \cdot a \cdot b^2 \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle (a \cdot b)^2 = a \cdot a \cdot b^2 \smallskip\\  \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle (a \cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2 \smallskip\\  \end{array}

    Por el resultado en la pregunta anterior, sabemos que esto significa que el grupo es abeliano.

    \Box

  7. Si todo elemento en el grupo G es su propio inverso, demostrar que G es abeliano
  8.  
    Se da que \forall x \in G, x^2 = e. Luego, tomamos dos elementos del grupo y nos basamos en este principio para la demostración:

    \setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl}  \displaystyle a \cdot b = &\displaystyle e \cdot (a \cdot b) \cdot e \smallskip\\  \displaystyle = &\displaystyle b^2 \cdot (a \cdot b) \cdot a^2 \smallskip\\  \displaystyle = &\displaystyle (b \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot (a \cdot a) \smallskip\\  \displaystyle = &\displaystyle b \cdot (b \cdot a) \cdot (b \cdot a) \cdot a \smallskip\\  \displaystyle = &\displaystyle b \cdot (b \cdot a)^2 \cdot a \smallskip\\  \displaystyle = &\displaystyle b \cdot a \smallskip\\  \end{array}

    \Box

2.3. Algunos lemas preliminares