Primer teorema de isomorfía

October 29, 2014October 29, 2014 kevinalhalgebra, algebra abstracta, herstein, teoria de grupos, topicos de algebra, topics in algebraLeave a comment

El primer teorema de isomorfía es un caso especial del teorema fundamental de homomorfismos.

Teorema: Si $G, F$ son grupos, y $f: G \rightarrow F$ es un homomorfismo, con $ker(f) = K$ entonces $G/K \cong Im(f)$ .

Demostración: Para visualizar lo que se va a demostrar, resulta útil el diagrama conmutativo:

De aquí, $f: G \rightarrow Im(f)$ es el homomorfismo dado, $\pi: G \rightarrow G/K$ es el llamado homomorfismo canónico ( $\pi(g) = Kg$ ); y $g: G/K \rightarrow Im(f)$ es el isomorfismo cuya existencia se quiere demostrar.

Postulamos que $g$ está definido así: Si $X \in G/K, X = Ka$ , entonces $g(X) = f(a)$ . Es decir, $g(Ka)=f(a)$ .

Buena definición:

Antes de proceder con lo que queremos demostrar, hay que ver si esta función está bien definida, es decir, que no dependa de representantes. Esto es importante, pues si hay una clase lateral $Ka$ en particular, esta es equivalente a un $Kka$ si $k \in K$ . Entonces, podemos hablar de $Ka = Ka^{\prime} = X$ , $a, a^{\prime} \in G$ , y nuestra labor será demostrar que al evaluarla la función, obtengamos el mismo resultado.

En el primer caso, obtenemos $g(X)=f(a)$ , y en el segundo, $g(X)=f(a^{\prime})$ . Tomamos un elemento de $K$ y decimos que $a = ka^{\prime}$ , por lo ya explicado anteriormente.

Luego, se cumple que $f(a) = f(ka^{\prime}) = f(k) f(a^{\prime}) = e f(a^{\prime}) =f(a^{\prime})$ , que es lo que queríamos probar (mismo resultado).

Suryectividad:

Sabemos que $f$ es suryectiva pues hemos definido su conjunto de llegada como su imagen. Con esto en mano, probemos que $g$ es suryectiva. Efectivamente, si $b \in Im(f)$ , $b = f(a)$ , para algún $a \in G$ , por la suryectividad de $f$ .

Entonces $b = f(a) = g(Ka)$ , por la definición de la $g$ .

Homomorfía:

Para $a,b \in G$ , $KaKb = Kab$ (porque el núcleo es normal). Entonces, $g(KaKb) = g(Kab) = f(ab) = f(a) f(b)$ , pues $f$ es homomorfismo.

Sin embargo, como $g(Ka) = f(a)$ y $g(Kb) = f(b)$ , entonces remplazando en la parte anterior, $g(KaKb) = g(Ka) g(Kb)$ , propiedad que hace que sea un homomorfismo.

Inyectividad:

Demostremos que $ker(g)$ es la identidad de $G/K$ , pues esto hará automáticamente que el homomorfismo sea un isomorfismo.

El elemento identidad en $G/K$ es $K = Ke$ , pues $KK = K$ (fácil de comprobar). Probaremos que $g(Ka) = e \Rightarrow Ka = Ke = K$ . Vemos que: $e = g(Ka) = f(a)$ , entonces $f(a) = e$ . Esto significa que $a \in ker(f) = K$ .

Como ya sabemos, el hecho de que $K$ sea un subgrupo y $a \in K$ implica que $Ka = K$ .

Esto completa la demostración del teorema.

$\Box$

Propiedades de homomorfismos

October 26, 2014October 29, 2014 kevinalhalgebra, algebra abstracta, teoria de grupos1 Comment

Sea $f: G \rightarrow F$ un homomorfismo del grupo $G$ en el grupo $F$ , entonces:

$f(e) = e$

Por el absurdo, suponemos que $f(e) = a, a \neq e$
Entonces, por ser un homomorfismo, se cumple:

$\setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl} \displaystyle f(e \cdot_G e) = f(e) \cdot_F f(e) \smallskip\\ \displaystyle f(e) = a \cdot_F a \smallskip\\ \displaystyle f(e) = a^2 \smallskip\\ \end{array}$

Entonces $f(e) = a$ y $f(e) = a^2$ , lo cual es imposible excepto en el caso que $a$ sea la identidad.

$\Box$

$\forall x \in G: f(x^{-1}) = f(x)^{-1}$

De forma semejante al problema anterior:

$\setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl} \displaystyle f(x \cdot_G x^{-1}) = f(x) \cdot_F f(x^{-1}) \smallskip\\ \displaystyle f(e) = f(x) \cdot_F f(x^{-1}) \smallskip\\ \displaystyle e = f(x) \cdot_F f(x^{-1}) \smallskip\\ \end{array}$

Como el inverso es único, $f(x^{-1}) = f(x)^{-1}$ .

$\Box$

$ker(f) \triangleleft G$

El núcleo es el conjunto $ker(f) = \{ a \in G: f(a) = e_F \}$ .

Primero se debe demostrar de que, efectivamente, es un subgrupo. Para ello, primero verifiquemos que está cerrado bajo la operación:. Tomando elementos $a, b$ del núcleo, sabemos que $f(a) = f(b) = e$ :

$\setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl} \displaystyle f(a \cdot b) = &\displaystyle f(a) \cdot f(b) \smallskip\\ \displaystyle = &\displaystyle e \cdot e \smallskip\\ \displaystyle = &\displaystyle e \smallskip\\ \end{array}$

Entonces, $a \cdot b$ se encuentra en el núcleo. De forma similar para el elemento inverso; como sabemos que $G$ es grupo, entonces $a^{-1}$ debe estar en $G$ también. Entonces:

$\setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl} \displaystyle f(a \cdot a^{-1}) = &\displaystyle f(a) \cdot f(a^{-1}) \smallskip\\ \displaystyle = &\displaystyle f(a) \cdot f(a)^{-1} \smallskip\\ \displaystyle = &\displaystyle e \smallskip\\ \end{array}$

Queda entonces comprobado que el producto de un elemento del núcleo por su inverso también está en el núcleo.

Para que sea un subgrupo normal, lo que se pide demostrar es que $\forall g \in G, \forall a \in ker(f): gag^{-1} \in ker(f)$ .

Tomemos entonces elementos arbitrarios de cada conjunto:

$\setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl} \displaystyle f(gag^{-1}) = &\displaystyle f((ga)g^{-1}) \smallskip\\ \displaystyle = &\displaystyle f(ga) \cdot f(g^{-1}) \smallskip\\ \displaystyle = &\displaystyle f(g) \cdot f(a) \cdot f(g^{-1}) \smallskip\\ \displaystyle = &\displaystyle f(g) \cdot e \cdot f(g^{-1}) \smallskip\\ \displaystyle = &\displaystyle f(g) \cdot f(g^{-1}) \smallskip\\ \displaystyle = &\displaystyle f(g) \cdot f(g)^{-1} \smallskip\\ \displaystyle = &\displaystyle e \smallskip\\ \end{array}$

Esta igualdad al elemento identidad demuestra que está dentro del núcleo.

$\Box$

2.6. Subgrupos normales y grupos cociente

October 25, 2014October 25, 2014 kevinalhalgebra, herstein, teoria de grupos, topics in algebraLeave a comment

Demostrar que todo subgrupo de un grupo abeliano es normal

Sea $G$ un grupo abeliano, y $H$ un subgrupo de $G$ ( $G \leq H$ ). De ahora en adelante denotemos como $g$ a aquellos elementos de $G$ en general, y $h$ a los de $H$ en específico. Igualmente, si se escribe $gh$ , se entenderá como el producto $g \cdot h$ .

Para que $H$ sea un subgrupo normal, se debe cumplir que $\forall g \in G, \forall h \in H, ghg^{-1}\in H$ , lo cual se puede comprobar directamente pues como $G$ es abeliano y $H \subseteq G$ , los elementos de $H$ conmutan con los de $G$ . Así, $ghg^{-1} = gg^{-1}h = eh = h \in H$ .

$\Box$

Si $H$ es un subgrupo de $G$ , y $N(H) = \{ g \in G{} |{} gHg^{-1} = H \}$ . Demostrar que
Basta demostrar que los elementos de $N(H)$ están cerrados bajo la operación, y tienen un elemento inverso. Notemos el siguiente resultado:

$\setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl} \displaystyle g H g^{-1} = H \Leftrightarrow &\displaystyle gHg^{-1}g=Hg \smallskip\\ \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle gH=Hg \smallskip\\ \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle g^{-1}gH=g^{-1}Hg \smallskip\\ \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle H=g^{-1}Hg \smallskip\\ \end{array}$

Es decir, el elemento de $G$ y su inversa tienen posiciones intercambiables en este caso. Sin embargo, como $g = (g^{-1})^{-1}$ , sigue inmediatamente que este resultado también implica que el inverso está en $E(H)$ , lo que completa la primera parte. Con esto en cuenta, procedemos a tomar elementos $g_1, g_2 \in G$ para comprobar si su producto se encuentra en $N(H)$ . Sabiendo que $g_1Hg_1^{-1}=H$ y $g_2Hg_2^{-1}=H$ , entonces $g_2Hg_2^{-1}=g_1Hg_1^{-1}$ por transitividad de la relación igualdad.

$\setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl} \displaystyle g_1Hg_1^{-1}=g_2Hg_2^{-1} \Leftrightarrow &\displaystyle g_1^{-1}Hg_1=g_2Hg_2^{-1} \smallskip\\ \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle H=g_1g_2Hg_2^{-1}g_1^{-1} \smallskip\\ \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle H=g_1g_2H(g_1g_2)^{-1} \smallskip\\ \end{array}$

Como $(g_1g_2)H(g_1g_2)^{-1}=H$ se concluye que $g_1g_2 \in N(H)$ .

$\Box$

2.3. Algunos lemas preliminares

October 25, 2014October 25, 2014 kevinalhalgebra, algebra abstracta, herstein, teoria de grupos, topicos de algebra, topics in algebraLeave a comment

Demostrar que si $G$ es un grupo abeliano, entonces para todo $a, b \in G$ y todos los enteros $n, (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

Procedemos por inducción. Sabemos que $(a \cdot b)^1 = (a \cdot b)$
Luego, asumiendo que se cumple $(a \cdot b)^k = a^k \cdot b^k$ :

$\setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl} \displaystyle(a \cdot b)^{k+1} = &\displaystyle (a \cdot b)^k (a \cdot b)\smallskip\\ \displaystyle &\displaystyle a^k \cdot b^k \cdot a \cdot b \end{array}$

Como sabemos que $G$ es un grupo abeliano, se debe cumplir que

$a^k \cdot b^k \cdot a \cdot b = a^k \cdot a \cdot b^k \cdot b = a^{k+1} \cdot b^{k+1}$

$\Box$

Si $G$ es un grupo tal que $(a \cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2$ para todo $a, b \in G$ , demostrar que $G$ debe ser abeliano

Esta vez, a partir del dato dado hay que llegar a que para todo $a,b \in G$ se cumple que $a \cdot b = b \cdot a$ :

$\setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl} \displaystyle (a \cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2 \Leftrightarrow &\displaystyle (a \cdot b) (a \cdot b) = (a \cdot a) \cdot (b \cdot b) \smallskip\\ \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle a \cdot (b \cdot a) \cdot b = a \cdot (a \cdot b) \cdot b \smallskip\\ \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle a^{-1} \cdot a \cdot (b \cdot a) \cdot b \cdot b^{-1} = a^{-1} \cdot a \cdot (a \cdot b) \cdot b \cdot b^{-1} \smallskip\\ \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle e \cdot (b \cdot a) \cdot e = e \cdot (a \cdot b) \cdot e \smallskip\\ \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle b \cdot a = a \cdot b\smallskip\\ \end{array}$

$\Box$

Si $G$ es un grupo en el que $(a \cdot b)^i = a^i \cdot b^i$ para tres enteros consecutivos $i$ para todo $a,b \in G$ , demostrar que $G$ es abeliano

Los tres enteros consecutivos serán $i$ , $i+1$ e $i+2$ . Se sabe entonces que:

$\setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl} \displaystyle (a \cdot b)^i = &\displaystyle a^i \cdot b^i \smallskip\\ (a \cdot b)^{i+1} = &\displaystyle a^{i+1} \cdot b^{i+1} \smallskip\\ (a \cdot b)^{i+2} = &\displaystyle a^{i+2} \cdot b^{i+2} \smallskip\\ \end{array}$

Aplicando esto, se tiene:

$\setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl} \displaystyle (a \cdot b)^{i+1} = a^{i+1} \cdot b^{i+1} \Leftrightarrow &\displaystyle (a \cdot b)^{i} \cdot (a \cdot b) = a^{i} \cdot a \cdot b^{i} \cdot b \smallskip\\ \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle a^i \cdot b^i \cdot a \cdot b = a^i \cdot a \cdot b^i \cdot b \smallskip\\ \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle b^i \cdot a = a \cdot b^i \smallskip\\ \end{array}$

Este primer resultado será necesario para un paso en la siguiente derivación:

$\setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl} \displaystyle (a \cdot b)^{i+2} = a^{i+2} \cdot b^{i+2} \Leftrightarrow &\displaystyle (a \cdot b)^{i} \cdot (a \cdot b)^2 = a^{i} \cdot a^2 \cdot b^{i} \cdot b^2 \smallskip\\ \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle a^i \cdot b^i \cdot (a \cdot b)^2 = a^i \cdot a^2 \cdot b^i \cdot b^2 \smallskip\\ \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle b^i \cdot (a \cdot b)^2 = a \cdot a \cdot b^i \cdot b^2 \smallskip\\ \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle b^i \cdot (a \cdot b)^2 = b^i \cdot a \cdot a \cdot b^2 \smallskip\\ \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle (a \cdot b)^2 = a \cdot a \cdot b^2 \smallskip\\ \displaystyle \Leftrightarrow &\displaystyle (a \cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2 \smallskip\\ \end{array}$

Por el resultado en la pregunta anterior, sabemos que esto significa que el grupo es abeliano.

$\Box$

Si todo elemento en el grupo $G$ es su propio inverso, demostrar que $G$ es abeliano

Se da que $\forall x \in G, x^2 = e$ . Luego, tomamos dos elementos del grupo y nos basamos en este principio para la demostración:

$\setlength\arraycolsep{2pt}\begin{array}{rl} \displaystyle a \cdot b = &\displaystyle e \cdot (a \cdot b) \cdot e \smallskip\\ \displaystyle = &\displaystyle b^2 \cdot (a \cdot b) \cdot a^2 \smallskip\\ \displaystyle = &\displaystyle (b \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot (a \cdot a) \smallskip\\ \displaystyle = &\displaystyle b \cdot (b \cdot a) \cdot (b \cdot a) \cdot a \smallskip\\ \displaystyle = &\displaystyle b \cdot (b \cdot a)^2 \cdot a \smallskip\\ \displaystyle = &\displaystyle b \cdot a \smallskip\\ \end{array}$

$\Box$